SeyrüseferSeyir DefteriMühendislik → Kiriş Burkulması - Doğrusal Yaklaşım

Kiriş Burkulması - Doğrusal Yaklaşım

Seyir Defteri - Mühendislik
Çarşamba, 01 Kasım 2017

Kiriş BurkulmasıMühendislik yapılarının tasarımlarında incelenmesi gereken en önemli problemlerden birini burkulmalar oluşturur. Bütün narin yapılar, eğer basma yüklerine maruz kalıyorlarsa burkulmaya meyillidirler. Kullanılan malzeme ne kadar yüksek mukavemetli olursa olsun, eğer burkulma göz ardı edilirlerse çok ciddi sorunlar ortaya çıkabilir ki mühendislik tarihinde bunun sayısız örneğine rastlamak mümkündür.

Mesela aşağıda örnek olarak ele alınan kirişin, 330MPa akma mukavemeti değerine sahip bir malzeme ile imâl edildiğinde, eksenel yükleme için [Sâbit-Serbest] mesnet durumunda azami gerilme sadece 27,6MPa değerine civarına ulaştığında burkularak çökeceği öngörülebilir. Üstelik burada kullanılan yaklaşım doğrusal çözüm içerdiğinden gerçek değerin bunun da altında olması kuvvetle muhtemeldir.

Deniz Mühendisliği söz konusu olduğunda, neredeyse inşa edilen bütün yapılar ve yapı bileşenleri de burkulmaya meyillidir; direkler, serenler, bastonlar, mataforalar, dikmeler, dış kaplamalar, postalar, kemereler, tülâniler...

Konuya başlangıç olacak bu ilk bölümde ise sadece narin kirişlerin doğrusal (Euler) burkulması kısaca ele alınacaktır. Takip edecek bölümlerde daha karmaşık durumların da değerlendirilmesi söz konusu olabilir.

Bir veya İki uçtan bağlı, eksenel yüklü Kiriş Burkulması için denklemler.

Resim.1) Bir veya İki uçtan bağlı, eksenel yüklü Kiriş Burkulması için denklemler. Bu tür yapılar için burkulmaya sebep olacak yükler böylece tespit edilebilir. Mesnet durumları soldan sağa
[Döner-Döner], [Sâbit-Sâbit], [Sâbit-Döner], [Sâbit-Serbest] ve [Sâbit-Kayar/Sâbit].

1744 senesinde Leonard Euler kiriş burkulmasını tanımlayan ilk eşitlikleri [e.1] yayınladı. Daha sonra Joseph Louis Lagrange göz önüne alınması gereken çözümlerin sadece (n) tamsayı olduğunda geçerli olduğunu gösterdi. Bilâhare 1807'de yayınlanan kitabında Thomas Young burkulmaya sebep olacak kritik yükün (n=1) olduğu [e.2] ve çözümün ise sadece narin kirişler için geçerliği olduğu fikrini ortaya attı. Ve nihayet Armand Considère tarafından 1889 senesinde gerçekleştirilen 32 adet deneye dayanan tecrübî çalışma ile narin kiriş fikri, birbuçuk asırlık bir süreçten sonra olgunlaşmasını tamamlamış oldu.


Döner-Döner uç mesnetleri durumu için Euler eşitliği;


$$P = EI\left({\frac{n\pi}{L}}\right)^{2} \quad n = 0,1,2,3... \quad\quad (e.1)$$


Burkulmaya sebep olacak asgari yük (n=1) için geçerli olduğundan;


$$ P_{burkulma} = {\frac{\pi^2EI}{L^2}} \quad\quad (e.2) $$


Jirasyon Yarıçapı (r) ve Narinlik Oranı (s);


$$ r = \sqrt{{\frac{I}{A}}} \quad\quad (e.3) \quad\quad\quad\quad s = {\frac{L}{r}} \quad\quad (e.4) $$


Burada bir hesaplama örneği oluşturması amacıyla IPE200 oolarak adlandırılan ve AISI304 paslanmaz çelik ile imâl edilmiş bir I kiriş modeli kullanıldı. Kirişe ait temel fizikî veriler [Çizelge.1] üzerinde görülebilir.

Yapı zayıf eksen yönünde burkulmaya meyilli olacağı için hesaplamalarda kullanılan atalet momentleri için doğru tercihin yapılmasına dikkât etmek gerekir, mesela burada kullanılan kesit için Ix=13*Iy olduğu için Iy'nin kullanılması gerekliydi. Jirasyon Yarıçapı [e.3] ve Narinlik Oranı [e.4] için de durum aynıdır.


L (m) 3,0000
h (m) 0,2000
b (m) 0,1000
s (m) 0,0056
t (m) 0,0085
Iy (m4) 1,419e-06
Kesit Alanı (m2) 0,00272
Esneklik Katsayısı (Pa) 193,0e09
Poisson Oranı 0,29
Yoğunluk (kg/m3) 8.000
Sigmaakma (MPa) 330
Jirasyon Yarıçapı (m) 0,02282
Narinlik Oranı 131,4

Çizelge.1) Hesaplamalar için kullanılan IPE200 kirişe ait temel veriler. Malzeme AISI304 paslanmaz çelik.


Euler kuramı ile elde edilen çözümlerle karşılaştırmak için ayrıca iki farklı çözünürlükte 3B katı elemanlardan müteşekkil Sonlu Elemanlar modeli imâl edildi ve doğrusal burkulma yöntemi ile açık kaynaklı Elmer yazılımı kullanılarak da çözüldü. Kullanılan çözüm örgüleri:

  • Örgü.1: 884 düğüm - 400 tuğla (820)
  • Örgü.2: 3.162 düğüm - 1.500 tuğla (820)

Elde edilen eksenel ve yanal yük altındaki burkulma değerleri aşağıdaki çizelge ve resimler üzerinde görülebilir.


IPE200 Kirişi için Hazırlanan GMSH Örgüsü

Resim.2) IPE200 kirişi için hazırlanan gmsh örgüsü, burada görülen [örgü.2]


Burkulma Yükleri
(N)
Mesnetler
Döner-Döner Sâbit-Döner Sâbit-Serbest
Euler 300.401,8 614.321,6 75.100,4
Elmer [örgü.1] 296.687,2 606.423,0 75.174,5
Elmer [örgü.2] 297.753,7 607.200,4 75.066,6

Çizelge.2) Eksenel Yük durumunda üç farklı mesnet ile iki farklı örgü çözünürlüğü için hesaplanan nazarî (Euler) ve sonlu elemanlar (Elmer) sonuçları.


Döner-Döner
Burkulma Yükleri (kN)
mod.1 297,8
mod.2 896,1
mod.3 1.167,3
mod.4 1.992,6
mod.5 2.458,9

Çizelge.3) Eksenel Yük durumunda Döner-Döner uç mesnetleri için [örgü2.] ile hesaplanan ilk beş burkulma modu ve yükleri. Mod şekilleri için [Resim.3]. Olağan koşullar altında hedef sadece birinci moddur bununla birlikte bazı nâdir durumlar için diğer modların incelenmesi de gerekebilir.


Eksenel Yük Altında IPE200 Kirişinin Burkulması

Resim.3) Eksenel Yük Altında IPE200 Kirişinin Burkulması. İlk üç mod ve hesaplanan burkulma yükleri.


Burkulma Yükleri
(N)
Mesnetler
Döner-Döner Sâbit-Sâbit Sâbit-Döner Sâbit-Serbest
Elmer [örgü.2] 97.810 434.868 220.080 47.185

Çizelge.4) "Yanal Yük" durumunda dört farklı mesnet ile iki farklı örgü çözünürlüğü için hesaplanan nazarî (Euler) ve sonlu elemanlar (Elmer) sonuçları.


IPE200 Kirişinin Yanal Yük Altında Burkulması

Resim.4) Yanal Yük altında IPE200 kirişinin burkulması. Mesnetlerin burkulma yükleri üzerinde büyük bir etkisi mevcut. Burada sâbit yayılı yük [-Y] yönünde ve kirişin merkez hattı boyunda uygulandı.


Burada Euler olarak da adlandırılan Doğrusal Çözüm yaklaşımı hem Analitik hem de Sonlu Elemanlar yöntemleriyle ele alındı. Bununla birlikte gerçek hayatta bu yaklaşımı kullanırken son derece dikkâtli olmak gerekeceğini göz önüne almak kaçınılmazdır.

Euler kuramının deney verileri ile daha iyi örtüşebilmesi narinlik oranının 140 ve üstü olduğu durumlarda geçerlidir (buradaki örnekte s=131,4). Narinlik oranı azaldıkça doğrusal çözümün hassasiyeti azalır. Ayrıca malzemeden, geometriden ve mesnetlerden kaynaklanan muhtelif kusurlar gerçek kirişlerin ideal olarak modellenenlerden çok daha erken burkulmasına sebep olur.

Doğrusal Çözüm yaklaşımları yine de ön-tasarım aşamasında veya parametrik çalışmalarda bilhâssa kiriş geometrisinin elle hesaplamaya imkân vermeyecek şekilde karmaşık olduğu durumlarda vesaire kullanılabilir fakat nihai hesap çözümleri için Doğrusal Olmayan yaklaşımlar tavsiye edilir.

♦ Kaynaklar

1. Columns: Buckling (Pinned Ends), 2003, İbrahim A. Essakkaf
2. Euler-Bernoulli Beams: Bending, Buckling, and Vibration, 2004, David M. Parks
 







Telif Hakkı © 1997-2017 [uskudar.biz] - sürüm 5.5.1 - Bütün Hakları Saklıdır. Kullanım şartları için tıklayın!
Joomla! GNU/GPL lisansı altında özgür bir yazılımdır.