SeyrüseferSeyir DefteriMühendislik → Silindir Doğal Frekansı - Kalın Cidar

Silindir Doğal Frekansı - Kalın Cidar

Seyir Defteri - Mühendislik
Çarşamba, 20 Eylül 2017

Kalın Cidarlı Slindir TitreşimiDaire kesitli silindir şekilli yapılar, mühendislik çözümlerinde muhtelif sebeplerle çok yaygın olarak kullanılageldiklerinden çeşitli açılarından incelenmeleri ihtiyacı da kaçınılmazdır. Konu temel olarak içi dolu ve içi boş silindirler olmak üzere iki bölüme ayrılabilir.

İçi dolu bir silindirin denizde uygulanmasına örnek olarak mesela zaman zaman yelkenli kayıklar üzerindeki sabit armalarda kullanılabilen ve giderek yaygınlaşarak kısmen de olsa tellerin yerini almaya başlayana çelik çubuklar gösterilebilir. Yine de Deniz Mühendisliğinde asıl önemli uygulamalar içi boş yani oyuk silindirlerdir denilebilir. Oyuk silindirler ise yine iki temel alt başlık altında; ince cidarlı ve kalın cidarlı silindirler olarak ele alınabilir.

İnce cidarlı bir silindire örnek olarak denizaltı mukavim teknelerinin dış kaplamaları, kalın cidarlı silindir için ise mesela denizaltı üzerindeki basınçlı hava tüpleri veya bazı elektrik motoru bileşenleri gösterilebilir. Yine de ince ve kalın cidar kavramları arasında kesin bir ölçü sınırı belirtmek gerekli değildir, mesela ortalama bir torpil gövdesi bu ikisinin arasında kabûl edilebilir.

Cisimlerin titreşim davranışlarını anlamak katı mekaniği kavramı açısından son derece önemlidir. Meselenin nazarî tarafı (en azından şimdilik) ele alınmadan bu yazıda doğrudan kalın cidarlı silindirlere ait bir hesaplamalı yaklaşımla elde edilen veriler, yapılan bir denel çalışmanın sonuçlarıyla birlikte sunulacaktır.

Silindir Doğal Frekans Hesaplaması için Sonlu Elemen Modeli

Resim.1) Silindir Doğal Frekans Hesaplaması için kullanılan sonlu eleman modellerinden biri. Burada ElmerGUI arayüzü içinde görünen örnek {(Uzunluk/5) X (Kalınlık/3) X (Çevre/32)} (5X3x32=480) adet altı yüzlü hücreden oluşan Ç [Çizelge.1] örgüsüdür.

Kaynak [1]'den alınan deney sonuçları ve söz konusu çalışmada kullanılan yapının serbest titreşim modellemesi için önceki bölümde takip edilen çözüm yaklaşımı kullanılmaya devam edilecek ve aşağıda belirtilen fizikî değerlere sahip yapının titreşim davranışını anlamak için doğal frekans ve mod şekilleri BDM1 yöntemi kullanılarak tespit edilmeye çalışılacaktır.

Kalın Cidarlı Silindir:

  • Çdış = 0,2286 m (Dış Çap)
  • Ç = 0,1524 m (iç Çap)
  • U = 0,2504 m 2 (Uzunluk)
  • E = 2,07e11 N/m2 (Esneklik Katsayısı)
  • ro = 7.860 kg/m3 (Yoğunluk)
  • nu = 0,28 (Poisson Oranı)

Örgü
Bölmeleme
Sayısı
(U, k, ç)
Eleman
Türü
Altıyüzlü
Hücre Sayısı
(adet)
Hesaplama
Süresi
(sn)
Mutlak
Ortalama Hata
(%)
A 5 x 1 x 32
p:2
160 5,2 0,760
B 5 x 1 x 32 p:3
160 12,9 0,685
C 5 x 1 x 32 L:2
160 9,6 0,766
Ç 5 x 3 x 32
p:2 480 15,5 0,551
D 5 x 5 x 32
p:2 800 42,1 0,564
E 5 x 7 x 32
p:2 1.120 73,9 0,566
F 15 x 1 x 32
p:2 480 16,6 0,675
G 30 x 1 x 32
p:2 960 35,2 0,674
H 60 x 1 x 32
p:2 1.920 83,9 0,674
I 15 x 1 x 68
p:2 1.020 34,0 0,670
İ 30 x 1 x 68
p:2 2.040 85,0 0,669
J 60 x 1 x 68
p:2 4.080 195,3 0,668
K 30 x 3 x 68
p:2 6.120 970,2 0,852
L 15 x 1 x 104
p:2 1.560 65,7 0,670
M 15 x 1 x 104 L:2 1.560 96,7 0,670
N 30 x 1 x 104
p:2 3.120 141,3 0,669
O 60 x 1 x 104
p:2 6.240 413,8 0,669
Ö 30 x 5 x 68
p:2 10.200 - -
P
30 x 7 x 68
p:2 14.280 - -

Çizelge.1) Hesaplamalar üzerinde örgü çözünürlüğünün etkisinin anlayabilmek için kullanılan muhtelif örgüler hakkındaki temel veriler. Ortalama hata verileri ilk ondört mod için elde edilen hesaplama sonuçlarına ait hata mutlak değerlerinin ortalaması alınmak suretiyle elde edilmiştir.

Hesaplamalar için kullanılan yazılımlar şöyledir:

  • Önişlemci: Gmsh 3.0.5
  • Hesaplayıcı: ElmerSolver 8.3
    • Çözücüler: StressSolve - Direct/Umfpack | SaveScalars
  • Sonişlemciler: Paraview 5.0.1 | Gnumeric 1.12.28

[Çigelge.1]'de görülebileceği üzere 19 farklı çözüm örgüsü imâl edilmiştir. Ö ve P tanımlamalı örgüler ile çözüm elde edilmemiştir. Bunun sebebi muhtemelen çalışmanın tamamında kullanılan Direct/Umfpack yönteminin kullanılan bu iki en büyük örgü için bellek/bant genişliği sorunu yaşamış olmasından kaynaklanmış olabilir, yakınsamalı matris çözücüsü vesaire kullanmak suretiyle bu durum düzeltilebilirdi ama şimdilik bununla uğraşmaya pek gerek yoktu. Görüldüğü gibi en düşük çözünürlük için bile ortalama hata %1'in altında.

Silindir için kullanılan 2.derece Gmsh örgülerinden biri

Resim.2) Hesaplamalarda kullanılan 2.derece Gmsh örgülerinden biri.

Oluşturulan hesaplama örgülerinden 16 tanesi için Elmer'in ikinci derece p elemanları (p:2) ve bir tanesi için üçüncü derece (p:3) elemanları ve iki tanesi için de Gmsh'nin ikinci derece Lagrange elemanları (L:2) [Resim.2] kullanılmıştır ki farklı sonlu elemanların sonuç üzerindeki etkisi de biraz anlaşılabilsin.

Bundan sonrası konuya ilgi duyan ziyaretçilerin çizelgelerde, resimlerde ve gerekirse kaynak [1]'de sunulan verileri incelemesinden ibaret olarak kabûl edilebilir. Yine de önemli bir son noktaya değinmek gerekirse:

Açık kaynak bir yazılımla da gayet hassas ve ticarî yazılımlara eşdeğer ve/veya daha iyi mühendislik sonuçlarının kolayca elde edilebiliyor olması konusunda yeni nesillerin ilgisini çekebilmek mümkün olabildiyse ne âlâ! Bu sayede belki bugün olmasa bile gelecekte ülkenin uluslararası yazılım tekellerinin boyunduruğundan ve giderek kemikleşen sömürüsünden kurtulabilmesi mümkün olabilir.

Hz mod.1 mod.2 mod.3 mod.4 mod.5 mod.6 mod.7
(m,n) 0,2 1,2 1,1 2,2 0,3 1,3 2,1
Deney 2.576 2.960 6.320 6.536 6.632 7.064 7.183
A 2.590,4 3.000,4 6.227,8 6.554,3 6.719,2 7.152,0 7.236,1
B 2.557,3 2955,7 6.273,2 6.479,4 6593,2 7.089,1 7.132,4
C 2.585,2 2.992,7 6.246,1 6.555,5 6.698,4 7.150,6 7.215,8
Ç 2.557,6 2.960,0 6.276,1 6.496,3 6.593,3 7.095,7 7.144,8
D 2.557,0 2.958,9 6.276,0 6.495,5 6.590,2 7.092,0 7.144,4
E 2.556,9 2.958,7 6.276,0 6.494,2 6.589,8 7.091,4 7.144,3
F 2.588,8 2.993,1 6.275,0 6.530,4 6.714,0 7.138,6 7.220,8
G 2.588,8 2.992,8 6.274,9 6.529,6 6.713,7 7.138,3 7.220,0
H 2.588,8 2.992,7 6.274,9 6.529,5 6.713,7 7.183,3 7.219,9
I 2.581,6 2.986,6 6.264,4 6.532,0 6.693,2 7.137,7 7.201,7
İ 2.581,5 2.986,3 6.264,3 6.531,2 6.692,9 7.134,4 7.200,9
J 2.581,5 2.986,2 6.264,3 6.531,1 6.692,9 7.137,4 7.200,8
K 2.549,2 2.946,5 6.262,7 6.474,8 6.568,5 7.062,3 7.130,5
L 2.580,5 2.985,6 6.262,7 6.532,3 6.690,3 7.137,6 7.198,9
M 2.579,7 2.984,8 6.261,4 6.535,5 6.688,2 7.137,4 7.196,9
N 2.580,5 2.985,3 6.262,6 6.531,5 6.690,0 7.137,3 7.198,1
O 2.580,4 2.985,2 6.262,6 6.531,5 6.690,0 7.137,3 7.198,0

Çizelge.2a) Kullanılan farklı örgülerle elde edilen doğal frekans değerleri ile deney verilerinin karşılaştırılması, mod.1-7.

Hz mod.8 mod.9 mod.10 mod.11 mod.12 mod.13 mod.14
(m,n) 0,0 1,0 2,0 2,3 3,2 2,1 3,1
Deney 8.200 8.672 8.920 9.328 9.648 9.944 10.945
A 8.150,6 8.580,1 8.862,8 9.426,7 9.625,1 9.899,9 11.010,9
B 8.158,9
8.577,5
8.856,6
9.236,5
9.575,0
9.891,1
10.854,3
C 8.141,2
8.552,2
8.838,0
9.410,2
9.602,1
9.884,2
11.002,5
Ç 8.159,9
8.578,2
8.860,8
9.252,5
9.594,4
9.896,1
10.944,8
D 8.159,9
8.578,2
8.860,7
9.247,7
9.593,7
9.895,8
10.942,4
E 8.159,9
8.578,2
8.860,6
9.246,9
9.593,5
9.895,8
10.941,7
F 8.160,0
8.580,0
8.859,0
9.393,7
9.604,4
9.894,2
10.907,3
G 8.160,0
8.580,0
8.859,0
9.392,3
9.604,1
9.894,1
10.905,6
H 8.160,0
8.580,0
8.959,0
9.392,1
9.604,0
9.894,1
10.905,5
I 8.144,8
8.558,2
8.839,8
9.381,0
9.587,5
9.882,1
10.904,0
İ 8.144,8
8.558,2
8.839,7
9.379,6
9.587,2
9.882,0
10.902,4
J 8.144,8
8.558,2
8.839,7
9.379,4
9.587,2
9.882,0
10.902,2
K 8.144,2
8.556,3
8.837,9
9.209,2
9.556,7
9.878,4
10.841,5
L 8.142,4
8.554,7
8.836,7
9.379,2
9.584,8
9.880,2
10.903,6
M 8.140,6
8.552,1
8.834,4
9.377,7
9.582,8
9.878,7
10.903,1
N 8.142,4
8.554,7
8.836,6
9.377,8
9.584,5
9.880,0
10.901,9
O 8.142,4
8.554,7
8.836,6
9.377,6
9.584,5
9.880,0
10.901,8

Çizelge.2b) Kullanılan farklı örgülerle elde edilen doğal frekans değerleri ile deney verilerinin karşılaştırılması, mod.8-14.

Elmer ile hesaplanan bazı doğal frekanslar ve mod şekilleri

Resim.3) Açık kaynak Elmer yazılımı kullanılarak Ç örgüsü ile hesaplanan kalın cidarlı serbest silindire ait bazı doğal frekanslar ve mod şekilleri.

Düzeltme:
Aynı problemi Calculix ile çözdükten sonra fark ettim ki [Resim.3]'de beyan edilen doğal frekanslara ait mod şekilleri ile [1]'deki deney verileri arasında fark var. Aslında bu hata bir tür safha kayması gibi gözüküyor.

Yani ilk mod şekli aslında ikinci frekansın, ikincisi üçüncünün vs. Elmer tarafından hesaplanan mod frekansları deney verileri ile oldukça iyi örtüşşe de mod şekillerindeki bu kaymanın sebebini tam olarak anlayamadım. Sonuçları .vtu (Paraview) olarak ihraç eden çözücüden ya da kullanılan Elmer sürümünden kaynaklanan bir sorun söz konusu olabilir diye düşünülebilir ama çok benzer bir problem olan İnce Cidarlı Silindir çözümlerinde mod şekilleri için eşdeğer bir sıkıntı ortaya çıkmadı.

Buradaki çalışmanın temel amaçlarından biri daha sonraki safhalarda ele alınması ümit edilen kapsamlı mukavim tekne hesaplamalarına giden yolda küçük bir adım atmaktan ibarettir. Muhtemelen takip edecek bölümde ince cidarlı silindirler de aynı yaklaşımla ele alınacaktır...


♦ Açıklamalar

1. BDM: Bilgisayar Destekli Mühendislik [geri]
2. Sanki burada bir birim çevirme hatası söz konusu gibi gözüküyor! Uzunluğun 10 parmak yani 0,254m olması beklenirdi fakat yine de kaynakta böyle verildiği için olduğu gibi kullanıldı. [geri]

♦ Kaynaklar

1. Modal Analysis of a Thick Cylinder, 2002, R. K. Singhal - W. Gum - K. Williams
2. http://elmerfem.org/
 







Telif Hakkı © 1997-2017 [uskudar.biz] - sürüm 5.5.1 - Bütün Hakları Saklıdır. Kullanım şartları için tıklayın!
Joomla! GNU/GPL lisansı altında özgür bir yazılımdır.