Hidrostatik yüklü kürevî kabuklar ki uygulama anlamında yarım küreden sığ küreye kadar farklı şekillerde kullanılır; elasik, plastik veya elasto-plastik olarak burkulabilir. Bu konuyla ilgili yayınlanmış 1915 tarihli ilk bilimsel belge İsviçreli makina mühendisi Robert Zoelly'ye aittir [3] ve elastik bölgede eksensimetrik burkulma kabûlûne dayanır.

Bu önemli mühendislik sahasındaki çalışmalar 1917'de Leibenson, 1922'de Schwerin ve hemen sonrasında da van der Neut tarafından sürdürülmüştür. Genel kabuk eşitliklerinin doğrusal çözüm sürümlerine dayanan küçük miktarda esnek şekil değiştirme temelli Zoelly ve sonrasındaki bu yaklaşımlar aşağıdaki [e.1] eşitliğinde ifade edilen hidrostatik burkulma basıncına işaret eder:

$$ \Large P_{cl} = \frac{2E}{\sqrt{3(1-\nu ^{2})}}\frac{h^{2}}{R^{2}} \quad\quad\quad\quad\quad (e.1) $$

Burada E esneklik katsayısını, h sabit cidar kalınlığını, ν Poisson oranını, R ise kabuk merkez hattındaki yarıçapı ifâde eder. Bu eşitlik geometriden ve yüklemeden kaynaklanan kusurları kapsamaz, başka bir ifade ile geometri ve yükleme kusursuz olarak kabûl edilir...

[e.1] ile elde edilen burkulma oluşumu, küre üzerinde çok sayıda yumrunun oluşacağını öngörür. Bununla birlikte muhtelif denel çalışmalara göre burkulma çoğunlukla büyüklüğü küre geometrisinin değişkenlerine bağlı olmak üzere tek bir büyük yumru oluşturacak şekilde gerçekleşir.

Diğer taraftan bâzı özel şartlarda çok sayıda burkulma yumrusunun kabuk üzerinde yayılı bir düzen oluşturduğu gözlemlenebilmiş olsa da [Resim.1] bu özel durumlar ve [e.1]'e dayalı çözümler hidrostatik yüklü sualtı araçlarının tasarımında ancak çok sınırlı bir fayda sağlayabilir.

Resim.1) Malafalı özel bir model ile çökmeyi sınırlandırarak gerçekleştirilen sabit ve düzenli bir basınç altındaki kürevî kabuk burkulması için elde edilen ve düzenli yumrularla dolu bir deney sonucu.[4]

Yarıkürelerin burkulması hakkındaki en eski denel çalışmalardan biri 1939'da ABD CalTech'de gerçekleştirilen deneylerdir. Pirinç ile imâl edilmiş yarıkürelerin cıva içine daldırılmasıyla gerçekleştirilen bu deneylerin sonuçlarına göre gerçek burkulma [e.1] ile elde edilen değerin yaklaşık 1/4'ünde meydana gelmektedir ve yaklaşık 16derece civarında tek bir yumru şeklinde oluşmaktadır. Söz konusu deney çalışmaları sonucunda ise aşağıdaki ampirik denklem elde edilmiştir.

$$ \Large P_{ce} = 0,308E \left( \frac{h}{R}\right) ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad (e.2) $$

Resim.2) HY80 için elde edilen, 6,2m çapındaki ince cidarlı kürevî kabuğun doğrusal elastik burkulma kuramına [e.1] göre hesaplanan kritik burkulma yükünün et kalınlığına göre değişimi.
30mm kalınlık için çapa bağlı sonuçlar [Resim.3] üzerinde görülebilir.

Resim.3) HY80 için elde edilen, 30mm kalınlığındaki kürevî kabuğun doğrusal elastik burkulma kuramına [e.1] göre hesaplanan kritik burkulma yükünün çapa göre değişimi.
6,2m çapındaki küre için kalınlığa bağlı sonuçlar [Resim.2] üzerinde görülebilir.

Ve nihayet [e.2]'ye dayalı deney sonuçlarına bağlı olarak elde edilen eşitliğin, [e.1] yaklaşımı ile karşılaştırılması ise aşağıdaki gibidir.

Çizelge.1) Doğrusal ve elastik burkulma kuramına dayanan [e.1] ile elde edilen, 6,2m çapındaki bir yarımküre için muhtelif et kalınlıklarına bağlı olarak HY80 çeliği için kritik burkulma yükü P_cl ve [e.2] ile verilen denel çalışmalar ile doğrulanmış gerçekçi burkulma yükü P_ce dağılımları.
Ve en sağ sütunda P_ce için ortalama bir deniz suyu kabûlünde çökme derinliklerinin değişimi. Gerçek şartlarda bir denizaltı kubbesi söz konusu olduğunda imalâttan ve malzemeden kaynaklanan muhtelif kusurlar sebebiyle ulaşılabilen gerçek derinlik değerleri buradakilerin oldukça altında gerçekleşebilir.

Sonlu Eleman Modellemesi

Mevzunun sonlu elemanlar yöntemiyle hesaplanması ise güncel bir yaklaşım olarak giderek yaygınlaşmaktadır. Fakat söz konusu teknolojinin zaaflarına karşı dikkatli olmak gerekeceği de göz önüne alınmalıdır.

İlk olarak aslından bu tür bir problem için rahatlıkla yetersiz olduğu ifâde edilebilecek olan doğrusal burkulma yaklaşımı ile başlanacaktır çünkü yazının kapsamı doğrusal burkulma ile sınırlıdır. İkinci olarak, asıl ilgi alanı olan doğrusal-olmayan burkulma çalışmasını hesaplamalı bir yöntemle gerçekleştirebilmek için zâten önce doğrusal çözümün elde edilmesi gereklidir.

Resim.4) Gmsh ile üretilen yarım küre düzenli hesaplama örgüsü. Burada gösterilen, aşağıdaki [Çizelge.2]'de ayrıntıları verilen "1x" tanımlamalı ve çalışmada kullanılan en düşük çözünürlüklü hesaplama örgüsüdür.

Yarıküre geometrisi için ilk yapılması gereken hesaplama örgüsünün imâl edilmesi olduğundan bu çalışmada gedit (3.28) ile birlikte Gmsh (3.0.4) ile [Resim.4] üzerinde görülebilen düzenli hesaplama örgüsü oluşturulmuştur. Örgü çözünürlüğünün etkisini ölçebilmek için toplam yedi farklı dağılım oluşturulmuştur ki örgü ayrıntıları [Çizelge.2] üzerinde belirtilmiştir.

Çizelge.2) Çalışmada kullanılan yedi farklı çözünürlükteki örgüler ve S8R elamanı ile 6,2m çap 25mm kalınlık için elde edilen sonuçların özeti. S8 ve S8R karşılaştırması ise [Resim.5] üzerinde görülebilir. Sapma değeri [e.1] eşitliği ile Calculix sonuçları arasındaki farkın oranını ifâde eder.

Çözücü olarak Calculix (2.13) kullanılmıştır. Problemin türüne uygunluğu göz önüne alınarak katı model yerine yüzey modeli ve dörtgen temelli, ikinci derece S8 ve S8R cidar elemanları kullanılarak bütün örgüler için çözümler elde edilmiştir. Sonişlem için ise Cgx ve gnumeric (1.12) kullanılmıştır.

Bütün sonlu eleman hesaplamaları 6,2m çapında ve 25mm kalınlığında bir küre için çeşitli örgü değişkenlerine bağlı olarak ve malzeme için HY80 kullanılarak oluşturulmuştur.

Resim.5) 6,2m çapında ve 25mm kalınlığındaki bir durum için Calculix S8 ve S8R örgü elemanlarının etkinliği.

[Resim.5, 6, 7] ile [Çizelge.2] üzerinde elde edilen sonuçların özetleri görülebilir. Açıkça ortaya çıktığı üzere Doğrusal-Elastik Burkulma çözümü için elde edilen sonuçlar Zoelly'nin yaklaşımı ile eşdeğer sonuçlar üretmiştir. Bu tür bir çalışma için S8R elemanının daha uygun olduğu da görülmüştür.

Resim.6) yarıKüre için Calculix ile hesaplanan doğrusal burkulma (ilk mod) sonuçları.

Resim.7) yarıKüre için Calculix ile hesaplanan doğrusal burkulma sonuçlarından biri.

Eğer fırsat olursa devam çalışması olarak doğrusal-olmayan burkulma konusu da ele alınabilir...